目次（まとめ）
◾️ F-分布（自由度 \((m, n)\)）の確率密度関数、平均、分散
◾️ t-分布にしたがう確率変数 \(T\) は、2乗するとF-分布にしたがう
◾️ 参考文献
こんにちは、みっちゃんです。
今回の記事では、正規分布にしたがう母集団に関する分布について有名な「t-分布」と同様に重要な分布である「F-分布」について紹介します。
F-分布（自由度 \((m, n)\)）の確率密度関数、平均、分散
自由度 \((m, n)\) のF-分布は、以下のように定義される確率変数 \(Y\) の分布です。
$$Y = \frac{\frac{S}{m}}{\frac{T}{n}} \qquad (*)$$
ここで、\(S\) は自由度 \(m\) のカイ2乗分布（平均：\(m\)、分散：\(2m\)）、\(T\) は自由度 \(n\) のカイ2乗分布（平均：\(n\)、分散：\(2n\)）にしたがう、互いに独立な確率変数です（カイ2乗分布の詳細はこちらの記事をご参照ください）。
確率密度関数
$$f_Y (y | m,n) = \frac{1}{B(\frac{m}{2}, \frac{n}{2})} (\frac{m}{n})^{\frac{m}{2}} y^{\frac{m}{2}-1} (1 + \frac{m}{n}y)^{-\frac{m+n}{2}}$$
ここで、\(B(a, b)\)はベータ関数と呼ばれる関数で、以下のように定義されます（詳しくはこちらの記事をご覧ください）。
$$B(a, b) = \int_{0}^{1} x^{a-1} (1-x)^{b-1}dx = \frac{\Gamma(a) \Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}$$
平均
$$E[Y] = \frac{n}{n-2}$$
分散
$${\rm Var}(Y) = \frac{4n(m + n -2)}{m(n-2)^2(n-4)}$$
t-分布にしたがう確率変数 \(T\) は、2乗するとF-分布にしたがう
以前の記事で紹介したように、自由度 \(m\) のt-分布は、以下のように定義される確率変数 \(T\) の分布です。
$$T = \frac{Z}{\sqrt{\frac{U}{m}}} \qquad (**)$$
ここで、\(Z\) は標準正規分布（平均：0、分散：1；詳細はこちらの記事）にしたがう確率変数、\(U\) は自由度 \(m\) のカイ2乗分布（平均：\(m\)、分散：\(2m\)、詳細はこちらの記事）にしたがう、互いに独立な確率変数です。
式 \((**)\) を2乗すると、以下のようになります。
$$T^2 = \frac{Z^2}{\frac{U}{m}} = \frac{\frac{Z^2}{1}}{\frac{U}{m}}$$
式 \((*)\) と照らし合わせると、確率変数 \(T^2\) が自由度 \((1, m)\) のF-分布にしたがうことがわかります。
参考文献
久保川達也「現代数理統計学の基礎」共立出版
