目次（まとめ）
◾️ t-分布（自由度 \(m\)）の確率密度関数、平均、分散
◾️ t-分布にしたがう確率変数 \(T\) は、不偏分散により定義される
◾️ 参考文献
こんにちは、みっちゃんです。
今回の記事では、正規分布にしたがう母集団に関する分布について有名な「t-分布」について紹介します。
t-分布（自由度 \(m\)）の確率密度関数、平均、分散
自由度 \(m\) のt-分布は、以下のように定義される確率変数 \(T\) の分布です。
$$T = \frac{Z}{\sqrt{\frac{U}{m}}}\qquad (*)$$
ここで、\(Z\) は標準正規分布（平均：0、分散：1；詳細はこちらの記事）にしたがう確率変数、\(U\) は自由度 \(m\) のカイ2乗分布（平均：\(m\)、分散：\(2m\)、詳細はこちらの記事）にしたがう、互いに独立な確率変数です。
ここで、自由度 \(m\) は、標本の数 \(n\) から1を引いた数になります。
確率密度関数
$$f_T (t | m) = \frac{\Gamma(\frac{m+1}{2})}{\Gamma(\frac{m}{2})} \frac{1}{\sqrt{\pi m}} (1 + \frac{t^2}{m})^{-\frac{m+1}{2}}$$
平均
$$E[T] = 0$$
分散
$${\rm Var}(T) = \frac{m}{m-2}$$
分散から分かるように、t-分布の自由度 \(m\) は3以上の値になります。
t-分布にしたがう確率変数 \(T\) は、不偏分散により定義される
標準正規分布は、平均 \(\mu\)、分散 \(\sigma^2\) の正規分布にしたがう確率変数 \(X\) について、\(\frac{X - \mu}{\sigma}\) という変数変換によって得られる確率変数 \(Z\) がしたがう分布です（詳しくはこちらの記事をご覧ください）。
また、平均 \(\mu\)、分散 \(\sigma^2\) の正規分布にしたがう母集団から取り出した標本の平均 \(\overline{X}\) の平均は \(\mu\)、分散 \((\frac{\sigma}{\sqrt{n}})^2\) となる正規分布にしたがいます（詳しくはこちらの記事をご覧ください）。
標本平均 \(\overline{X}\) に対して、\(\frac{\overline{X} - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\) という変数変換をすることにより得られる確率変数 \(Z\) も標準正規分布にしたがいます。
$$Z = \frac{\overline{X} - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$$
ここで、分散 \(\sigma^2\) を不偏分散 \(V^2\) に置き換えて、\(\frac{\overline{X} - \mu}{\frac{V}{\sqrt{n}}}\) という変数変換をすることにより得られる確率変数 \(T\) を考えます。
$$T = \frac{\overline{X} - \mu}{\frac{V}{\sqrt{n}}} = Z \frac{\sigma}{V}\qquad (**)$$
式 \((*)\) と式 \((**)\) を照らし合わせて、確率変数 \(U\) について整理すると、以下のようになります。
$$U = \frac{1}{\sigma^2} m V^2$$
この確率変数 \(U\) が自由度 \(m\) のカイ2乗分布にしたがいます。
確率変数 \(U\) の平均 \(m\) について考えてみると、以下のようになります。
$$E[U] = E[\frac{1}{\sigma^2} m V^2] = \frac{1}{\sigma^2} m E[V^2] = m$$
$$E[V^2] = \sigma^2$$
\(V^2\) は不偏分散であり、平均 \(\mu\)、分散 \(\sigma^2\) の正規分布にしたがう母集団の分散に一致していることを確認することができます（詳しくはこちらの記事をご覧ください）。
参考文献
久保川達也「現代数理統計学の基礎」共立出版
