目次（まとめ）
◾️ 変数変換によって得られる確率変数が一様分布にしたがう
◾️ 参考文献
こんにちは、みっちゃんです。
今回の記事では、変数変換の例として「確率積分変換」について紹介します。
変数変換によって得られる確率変数が一様分布にしたがう
いま、確率変数 \(X\) を、ある関数 \(g(\cdot)\) を使って変換して、新たな確率変数 \(Y\) を得ることを考えます。
$$Y = g(X)$$
確率変数 \(X\) の確率密度関数が \(f_X (x)\) として与えられているとき、確率変数 \(Y\) の確率密度関数は以下のようになります。
$$f_Y (y) = f_X (g^{-1}(y)) \frac{1}{|g'(g^{-1}(y))|}\qquad(*)$$
ここで、\(g(x)\) は、単調増加、もしくは、単調減少であり、\(g^{-1}(y)\) は微分可能であるとします。
また、\(y = g(x)\) という関係から、\(x = g^{-1} (y)\) の関係を用いています。
例えば、確率変数 \(X\) の累積分布関数が \(F_X (x)\) として与えられているとき、以下の変換で得られる確率変数 \(Y\) を考えます。
$$Y = F_X (X)$$
ここで、累積分布関数は、単調増加関数になるので、\((*)\) 式の関係から、確率変数 \(Y\) の確率密度関数は、以下のようになります。
$$\begin{eqnarray}f_Y (y) &=& f_X (F_X^{-1} (y)) \frac{1}{F_X' (F_X^{-1} (y))} \\&=&f_X (F_X^{-1} (y)) \frac{1}{f_X (F_X^{-1} (y))}\\&=&1 \qquad(**)\end{eqnarray}$$
以前の記事で紹介したように、連続型一様分布の確率密度関数は、以下のように得られます。
$$f_Y (y | a, b) = \frac{1}{b - a} \qquad (a < y < b)$$
\(a = 0, b = 1\) のとき、連続型一様分布の確率密度関数 \(f_Y (y)\) は "1" となることから、\((**)\) で得られる確率密度関数と一致していることがわかります。
つまり、この確率変数変換で得られた確率変数 \(Y\) は、区間(0, 1) 上の一様分布にしたがうことになります。
この変数変換は「確率積分変換」と呼ばれています。
参考文献
久保川達也「現代数理統計学の基礎」共立出版
