目次（まとめ）
◾️ 負の2項分布の確率関数、確率母関数、平均、分散
◾️ 2項分布、幾何分布、負の2項分布などベルヌーイ試行に関係する分布の違い
◾️ 参考文献
こんにちは、みっちゃんです。
以前の記事で、ベルヌーイ試行で得られた結果について、全体の中で成功した回数の分布を考える「2項分布」について紹介しました。
今回の記事では、2項分布と同様にベルヌーイ試行で得られた結果についての確率分布である「負の2項分布」について解説します。
負の2項分布の確率関数、確率母関数、平均、分散
負の2項分布は、ベルヌーイ試行にしたがう分布であり、\(r\) 回成功するまでの失敗の回数についての分布です。
離散分布なので、確率密度関数ではなく、確率関数が定義されます。
確率関数
$$P(X = k | r, p) = {}_{r+k-1} \mathrm{C}_k p^r (1-p)^{k} \qquad (k = 0, 1, 2, …)$$
負の2項分布の平均は \( \frac{r(1-p)}{p}\)、分散は \(\frac{r(1-p)}{p^2}\) になります。
平均や分散は、以下の確率母関数を用いて取得することもできます（詳細はこちら、もしくは、こちらの記事をご覧ください）。
確率母関数
$$G_X(s) = \frac{p^r}{(1-(1-p)s)^r}$$
2項分布、幾何分布、負の2項分布などベルヌーイ試行に関係する分布の違い
ベルヌーイ試行に関係する確率分布には、2項分布や幾何分布、負の2項分布などがあります。
これらの確率分布の違いは、ベルヌーイ試行で得られる結果について何に注目するか、という点にあります。
例えば、上で示すように、\(p\) の確率で「成功」、\(1-p\) の確率で「失敗」するようなベルヌーイ試行を15回繰り返すとき、全体の中で「成功」した回数の分布を考えるのが「2項分布」です（詳細はこちらの記事をご覧ください）。
「幾何分布」は、15回全体には興味がなく、初めて成功するまでに「失敗」した回数の分布を考えます（詳細はこちらの記事をご覧ください）。
「負の2項分布」は、複数回成功するまでに「失敗」した回数の分布を考えます。
参考文献
久保川達也「現代数理統計学の基礎」共立出版
