目次（まとめ）
◾️ 尤度関数から尤度比検定統計量を算出する
◾️ 尤度比検定統計量の対数値に-2をかけたものを検定に用いる
◾️ 参考文献
こんにちは、みっちゃんです。
以前の記事で、仮説検定において、検定統計量を使って仮説を受容、または、棄却することを判断することについて紹介しました。
今回の記事では、検定統計量を求めるための手法の1つである「尤度比検定」について紹介します。
尤度関数から尤度比検定統計量を算出する
尤度関数とは、以前の記事で紹介したように、確率（密度）関数の同時確率（密度）関数のことを意味します。
ここでは、確率変数 \(X_1, X_2, ..., X_n\) が互いに独立に \(f(x|\theta)\) にしたがうとき、それらの尤度関数 \(L(\theta | x_1, x_2, ..., x_n)\) を考えます。
$$L(\theta | x_1, x_2, ..., x_n) = \sum_{i = 1}^n f(x_i|\theta)$$
いま、帰無仮説：\(\theta \in \Theta_0\)、対立仮説：\(\theta \in \Theta_0^c\) とする仮説検定を考えるとき、「尤度比検定統計量」は、\(\lambda({\bf X})\) として、以下のように表現されます。
$$\lambda({\bf X}) = \frac{{\rm sup}_{\theta \in \Theta_0} L(\theta | {\bf X})}{{\rm sup}_{\theta \in \Theta} L(\theta | {\bf X})}$$
ここで、\(\Theta\) は、母数（パラメータ）である \(\theta\) がとることができる値の集合であり、\(\Theta = \Theta_0 \cup \Theta_0^c\) という関係があります。
つまり、\(\Theta\) という母数区間に含まれるパラメータに対する尤度に対する、\(\Theta_0\) という母数区間に含まれるパラメータに対する尤度の比が、尤度比検定統計量になります。
尤度比検定統計量の対数値に-2をかけたものを検定に用いる
尤度比検定では、上で求めた尤度比検定統計量の対数値に-2をかけたものを検定に使用します。
なぜなら、この値が、帰無仮説：\(\theta \in \Theta_0\) が成り立つときに、自由度 \(k-r\) のカイ2乗分布に分布収束することがわかっているからです（分布収束についてはこちらの記事をご覧ください）。
$$-2{\rm log} \lambda({\bf X}) \rightarrow \chi_{k-r}^2$$
ここで、\(k\) はパラメータ \(\theta\) の次元、\(r\) は母数空間 \(\Theta_0\) の次元です（\(k > r\)）。
参考文献
久保川達也「現代数理統計学の基礎」共立出版
