目次（まとめ）
◾️ カイ2乗分布の確率密度関数、積率母関数、特性関数
◾️ カイ2乗分布は、標準正規分布と深い関係がある
◾️ 参考文献
こんにちは、みっちゃんです。
以前の記事で、正の値を示す確率変数の分布の代表格である「ガンマ分布」を紹介しました。
今回の記事では「ガンマ分布」の1つである「カイ2乗分布」、さらに「カイ2乗分布」が「標準正規分布」と関連が深いことについても解説します。
カイ2乗分布の確率密度関数、積率母関数、特性関数
以前の記事で紹介したように、ガンマ分布は、形状母数\(\alpha\)と尺度母数\(\beta\)という2つのパラメータをつかって表現され、確率密度関数は以下のようになります。
確率密度関数
$$f_X(x | \alpha, \beta) = \frac{1}{\Gamma (\alpha)} \frac{1}{\beta} (\frac{x}{\beta})^{\alpha -1} {\rm exp}\{- \frac{x}{\beta}\}$$
ここで、\(\Gamma (\alpha)\)はガンマ関数と呼ばれる関数で、以下のように定義されます。
$$\Gamma (\alpha) = \int_{0}^{\infty} y^{\alpha -1}{\rm exp}\{-y\}dy$$
一般に、ガンマ分布は \(Ga(\alpha, \beta)\) と表現され、カイ2乗分布は、自然数 \(n\) を使って \(Ga(\frac{n}{2}, 2)\) と表現されます。ここで、\(n\) は自由度です。
確率密度関数
$$f_X(x) = \frac{1}{\Gamma (\frac{n}{2})} (\frac{1}{2})^{\frac{n}{2}} x^{\frac{n}{2}-1} {\rm exp}\{- \frac{x}{2}\}\qquad (*)$$
平均や分散は、以下の積率母関数や特性関数を用いて取得することができます（詳細はこちらの記事をご覧ください）が、平均 \(n\)、分散 \(2n\) になることを確認できます。
積率母関数
$$M_X(t) = (1 - 2t)^{- \frac{n}{2}}$$
特性関数
$$\varphi_X(t) = (1 - 2it)^{- \frac{n}{2}}$$
カイ2乗分布は、標準正規分布と深い関係がある
以前の記事で紹介したように、標準正規分布は、平均0、分散1の正規分布で、以下のような確率密度関数で表現されます。
確率密度関数
$$\phi(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}{\rm exp}\{-\frac{z^2}{2}\}$$
確率密度関数の定義より、以下の関係が成り立ちます。
$$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}{\rm exp}\{-\frac{z^2}{2}\} dz = 1$$
ここで、\(y = z^2\) の変数変換を考えると、\(dz = (1/2\sqrt{y})dy\) となることから、以下のような関係が成り立ちます。
$$\frac{2}{\sqrt{2\pi}} \int_{0}^{\infty}{\rm exp}\{-\frac{y}{2}\} \frac{1}{2\sqrt{y}} dy = 1\qquad (**)$$
一方で、(＊)式で示したカイ2乗分布の確率密度関数から、以下の関係が成り立ちます（自由度 \(n\) を1とします）。
$$\frac{1}{\Gamma (\frac{1}{2})} \int_{0}^{\infty} (\frac{1}{2})^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}-1} {\rm exp}\{- \frac{y}{2}\} dy = 1$$
式を変換すると、以下のようになります。
$$\frac{1}{\Gamma (\frac{1}{2})} \frac{1}{\sqrt{2}} \int_{0}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{y}} {\rm exp}\{- \frac{y}{2}\} dy = 1$$
ここで、\(\Gamma (\frac{1}{2}) = \sqrt{\pi}\) ということがわかっているので、式(＊＊)と一致します。
つまり、確率変数 \(Z\) というものがあって、それが標準正規分布にしたがうとき、\(Z^2\) はカイ2乗分布（自由度1）にしたがう、ということを意味します。
参考文献
久保川達也「現代数理統計学の基礎」共立出版
