目次（まとめ）
◾️ 離散一様分布の確率関数と平均、分散
◾️ 連続一様分布の確率密度関数と平均、分散
◾️ 参考文献
こんにちは、みっちゃんです。
今回の記事では、いろいろな種類がある確率分布の中で、最もシンプルな分布である「一様分布」について紹介します。
離散一様分布の確率関数と平均、分散
例えば、1〜6までの目をもつサイコロを投げるときには、それぞれの目が出る確率は "一様に" \(\frac{1}{6}\) になります。
いま、確率変数 \(X\) が \({1, 2, 3, ..., N}\) という値を "一様に" とるとき、確率変数 \(X\) は離散一様分布にしたがいます。
確率関数
$$P (X = x | N) = \frac{1}{N} \qquad x = 1, 2, ..., N$$
平均
$$E[X] = \frac{1}{N} \sum_{x = 1}^N x = \frac{N + 1}{2}$$
分散
$${\rm Var} (X) = E[X^2] - (E[X])^2 = \frac{(N + 1)(N - 1)}{12}$$
連続一様分布の確率密度関数と平均、分散
ある閉区間 \([a, b]\) において、確率変数が一様分布を示すとき、以下のような確率密度関数、平均、分散が与えられる。
確率密度関数
$$f_X (x | a, b) = \frac{1}{b - a} \qquad (a \leq x \leq b)$$
平均
$$E[X] = \int_a^b x \frac{1}{b - a} dx = \frac{a + b}{2}$$
分散
$${\rm Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = \frac{(b - a)^2}{12}$$
また一般に、一様分布にしたがう確率変数が \(m\) 個ある場合に、小さい方から \(k\) 番目の確率変数 \(X_k\) の期待値は、以下のようになる。
$$E[X_k] = \frac{k}{m+1}$$
参考文献
久保川達也「現代数理統計学の基礎」共立出版
