目次(まとめ)

◾️ 多項分布は2項分布を一般化した分布

◾️ 多項分布の確率関数、平均、分散

◾️ 参考文献

◾️ 関連記事


こんにちは、みっちゃんです。

前回の記事では、\(n\) 回のベルヌーイ試行のうち \(p\) の確率で成功する \(k\) 回の成功について考える「2項分布」について解説しました。

今回の記事では、「2項分布」を一般化した「多項分布」について解説します。

多項分布は2項分布を一般化した分布

2項分布では、\(p\) の確率で「成功」、\(1-p\) の確率で「失敗」するような試行である、ベルヌーイ試行について考えました。

例えば、表裏があるコインを投げるという試行(実験)を行うときに、「コインの表がでる」ということを「成功」とするというようなことです。

多項分布では、例えば、\(k\) 個の面があるサイコロを投げるという試行(実験)を \(n\) 回行うときに、\(p_1, ...., p_k\) の確率で \(1, ..., k\) の面がでる回数を \(X_1, ..., X_k\) として考えます。

したがって、前提条件として、以下のことが成り立ちます。
$$p_1 + p_2 + ... + p_k = 1\\X_1 + X_2 + ... + X_k = n$$

多項分布の確率関数、平均、分散

確率関数
$$f_{X_1, ..., X_k}(x_1, ..., x_k | n, p_1, ..., p_{k-1}) = \frac{n!}{x_1! ... x_k!} p_1^{x_1} ... p_k^{x_k}$$

平均
$$E[X_i] = np_i$$

分散
$${\rm Var}(X_i) = n p_i (1 - p_i)$$

参考文献

久保川達也「現代数理統計学の基礎」共立出版

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「確率分布」は以下の記事にまとめていきます