目次（まとめ）
◾️ ラプラス分布の確率密度関数と平均、分散
◾️ ラプラス分布のパラメータが確率分布に及ぼす効果
◾️ 参考文献
こんにちは、みっちゃんです。
今回の記事では、正規分布のように左右対称の確率変数の分布である「ラプラス分布」について解説します。
ラプラス分布の確率密度関数と平均、分散
ラプラス分布は、位置 \(\mu\) と尺度 \(\sigma\)という2つのパラメータをつかって表現されます。
ちなみに、上の図で示しているラプラス分布の確率密度関数は、以下のようにRで実行することで得られます（\(\mu = 0, \sigma = 2\)）。
> drlaplace <- function(x, mu, sigma){
> f <- 1/(2*sigma)*exp(-(abs(x-mu))/sigma)
> return(f)
> }
> curve(drlaplace(x, 0, 2), xlab = "x", ylab = "probability density", xlim = c(-10, 10))
ラプラス分布の確率密度関数、平均、分散は、以下のように得られます。
確率密度関数
$$f_X(x | \mu, \sigma) = \frac{1}{2 \sigma} {\rm exp} \{-\frac{|x-\mu|}{\sigma}\}$$
平均
$$E[X] = \mu$$
分散
$${\rm Var}(X) =2\sigma^2$$
ラプラス分布のパラメータが確率分布に及ぼす効果
ラプラス分布には、位置 \(\mu\) と尺度 \(\sigma\) という2つのパラメータがあります。
まず、\(\sigma = 1\) に固定して \(\mu\) を変化させてみます。
ラプラス分布の平均が \(\mu\) であることからもわかりますが、\(\mu\) を変化させていくと、分布が \(\mu\) で左右対称になるように、平行移動していきます。
次に、\(\mu = 2\) に固定して、\(\sigma\) を変化させてみます。
この図から、\(\sigma\) の値が小さいときは尖った曲線になり、\(\sigma\) を大きくしていくと、尖りがなくなり横広の曲線に変わっていくことがわかります。
参考文献
久保川達也「現代数理統計学の基礎」共立出版
