目次（まとめ）
◾️ 指数分布の確率密度関数、積率母関数、特性関数
◾️ 指数分布は生存時間の分布に使われ、無記憶性を示す
◾️ 参考文献
こんにちは、みっちゃんです。
以前の記事で、正の値を示す確率変数の分布の代表格である「ガンマ分布」を紹介しました。
今回の記事では「ガンマ分布」の1つである「指数分布」、さらに「指数分布」が「無記憶性」と呼ばれる特徴をもつ分布であることについても解説します。
指数分布の確率密度関数、積率母関数、特性関数
以前の記事で紹介したように、ガンマ分布は、形状母数\(\alpha\)と尺度母数\(\beta\)という2つのパラメータをつかって表現され、確率密度関数は以下のようになります。
確率密度関数
$$f_X(x | \alpha, \beta) = \frac{1}{\Gamma (\alpha)} \frac{1}{\beta} (\frac{x}{\beta})^{\alpha -1} {\rm exp}\{- \frac{x}{\beta}\}$$
ここで、\(\Gamma (\alpha)\)はガンマ関数と呼ばれる関数で、以下のように定義されます。
$$\Gamma (\alpha) = \int_{0}^{\infty} y^{\alpha -1}{\rm exp}\{-y\}dy$$
一般に、ガンマ分布は \(Ga(\alpha, \beta)\) と表現され、指数分布は \(\lambda\) というパラメータを使って \(Ga(1, \frac{1}{\lambda})\) と表現されます。
確率密度関数
$$f_X(x|\lambda) = \lambda {\rm exp}\{- \lambda x\}$$
平均や分散は、以下の積率母関数や特性関数を用いて取得することができます（詳細はこちらの記事をご覧ください）が、平均 \(\frac{1}{\lambda}\)、分散 \(\frac{1}{\lambda^2}\) になることを確認できます。
積率母関数
$$M_X(t) = \frac{\lambda}{\lambda - t}$$
特性関数
$$\varphi_X(t) = \frac{\lambda}{\lambda - it}$$
指数分布は生存時間の分布に使われ、無記憶性を示す
まず、指数分布の確率密度関数 \(f_X(x|\lambda)\) の（累積）分布関数を考えます（こちらの記事をご参照ください）。
$$F_X (s) = P(X < s) = \int_{0}^{s} f_X(x|\lambda) dx$$
$$\qquad = \lambda \int_{0}^{s} {\rm exp} \{- \lambda x\} dx$$
$$\qquad = 1 - {\rm exp} \{- \lambda s\}$$
指数分布は「生存時間の分布」として使われるため、ここでは、これを \(s\) という時まで生きることができる確率と考えます。
逆に、\(s\) という時を超えて生きる確率は、以下のように表現されます。
$$P(X > s) = 1 - P(X < s) = 1 - (1 - {\rm exp} \{- \lambda s\}) = {\rm exp} \{- \lambda s\}$$
\(s\) という時を超え、さらに \(t\) という時間を生きる確率は、条件付き確率の考え方で以下のように表現できます。
$$P(X > (s + t)|X > s) = \frac{P(X > (s + t), X > s)}{P(X > s)}$$
$$\qquad = \frac{P(X > (s + t))}{P(X > s)} = \frac{{\rm exp} \{- \lambda (s + t)\}}{{\rm exp} \{- \lambda s\}}$$
$$\qquad = {\rm exp} \{- \lambda t\} = P(X > t)$$
このことから、\(s\) という時を超え、さらに \(t\) という時間を生きる確率は、\(s\) という時まで生きる確率には関係なく表現されることがわかります。
これが「無記憶性」という特徴として知られています。
参考文献
久保川達也「現代数理統計学の基礎」共立出版
