目次（まとめ）
◾️ 確率収束とは、サンプル数が増えたときに、確率がある値に収束することを意味する
◾️ 大数の弱法則は、標本平均が母平均に近づくことを意味する
◾️ 参考文献
こんにちは、みっちゃんです。
以前の記事で「チェビシェフの不等式」を紹介しましたが、今回の記事では、この不等式を利用して、標本平均が確率収束することを解説します。
確率収束とは、サンプル数が増えたときに、確率がある値に収束することを意味する
確率変数の列 \(X_n (n = 1, 2, ...)\) が確率変数 \(X\) に確率収束するとは、
$$\lim_{n \to \infty} P(|X_n - X| \geq \epsilon) = 0$$
一般に \(\epsilon\) という記号は「小さな数」を意味するので、この式は、\(X_n\) と \(X\) の差が少しでもある確率は、\(n\) が大きくなると0に近づく、ということを意味しています。
大数の弱法則は、標本平均が母平均に近づくことを意味する
確率変数 \(X_1, X_2, ..., X_n\) について、それぞれが平均 \(\mu\)、分散 \(\sigma^2\) の正規分布にしたがうとき、\(\overline{X}\) が \(\mu\) に確率収束することを「大数の弱法則」といいます。
$$\lim_{n \to \infty} P(|\overline{X} - \mu| \geq \epsilon) = 0$$
つまり、母集団から取り出した標本の平均 \(\overline{X}\) と母集団の平均 \(\mu\) の差が少しでもある確率は、\(n\) が大きくなると0に近づく、ということです。
参考文献
久保川達也「現代数理統計学の基礎」共立出版
