目次（まとめ）
◾️ t-分布（自由度 \(1\)）の確率密度関数
◾️ コーシー分布の確率密度関数と平均、分散
◾️ コーシー分布のパラメータが確率分布に及ぼす効果
◾️ 参考文献
こんにちは、みっちゃんです。
今回の記事では、以前紹介した「t-分布」と関係が深い「コーシー分布」について解説します。
t-分布（自由度 \(1\)）の確率密度関数
以前の記事で、自由度 \(m\) のt-分布の確率密度関数を紹介しました。
$$f_T (t | m) = \frac{\Gamma(\frac{m+1}{2})}{\Gamma(\frac{m}{2})} \frac{1}{\sqrt{\pi m}} (1 + \frac{t^2}{m})^{-\frac{m+1}{2}}$$
\(m = 1\) のときを考えると、以下のような確率密度関数になります。
$$f_T (t | 1) = \frac{\Gamma(1)}{\Gamma(\frac{1}{2})}\frac{1}{\sqrt{\pi}} \frac{1}{1 + t^2}$$
ここで、\(\Gamma(1) = 1\)、\(\Gamma(\frac{1}{2}) = \sqrt{\pi}\) という関係から、以下のように変換できます。
$$f_T (t | 1) = \frac{1}{\pi} \frac{1}{1 + t^2}$$
この確率密度関数を一般化すると、コーシー分布の確率密度関数が得られます（ちなみに上の式は、標準コーシー分布と呼ばれます）。
コーシー分布の確率密度関数と平均、分散
コーシー分布は、位置 \(\mu\) （実数）と尺度 \(\sigma\)（正の定数）という2つのパラメータをつかって表現されます。
ちなみに、上の図で示しているコーシー分布の確率密度関数は、以下のようにRで実行することで得られます（\(\mu = 0, \sigma = 1\)）。
> curve(dcauchy(x, 0, 1), xlab = "x", ylab = "probability density", xlim = c(-10, 10), col = "black")
コーシー分布の確率密度関数は、以下のように得られます。
コーシー分布は、平均、分散が存在しない分布です。
確率密度関数
$$f_X(x | \mu, \sigma) = \frac{1}{\pi\sigma} \frac{1}{1 + (\frac{x - \mu}{\sigma})^2}$$
コーシー分布のパラメータが確率分布に及ぼす効果
コーシー分布には、位置 \(\mu\) と尺度 \(\sigma\) という2つのパラメータがあります。
まず、\(\sigma = 1\) に固定して \(\mu\) を変化させてみます。
この図から、\(\mu\) の値を変化させていくと、分布の中心が移動していくことがわかります。
次に、\(\mu = 0\) に固定して、\(\sigma\) を変化させてみます。
この図から、\(\sigma\) を大きくしていくと、分布がなだらかに変化していくことがわかります。
参考文献
久保川達也「現代数理統計学の基礎」共立出版
