目次（まとめ）
◾️ 偏差平方和と偏差積和を使って、回帰直線の傾きを求める
◾️ 求めた傾きと平均値を使って、回帰直線の切片を求める
◾️ 参考文献
こんにちは、みっちゃんです。
今回の記事では、2012年に行われた統計検定1級の応用数理（現：統計応用）の共通問題（問1）を取り上げて、解答を得るための方針について解説します（問題の詳細については、参考文献などをご覧ください）。
この問題では、以下のように、説明変数 \(x\) と目的変数 \(y\) が与えられたときに、このデータセットを表現する回帰直線を求める必要があります。
| \(i = 1\) | \(i = 2\) | \(i = 3\) | \(i = 4\) | \(i = 5\) | |
| \(x\) | 0.0 | 1.0 | 2.0 | 3.0 | 4.0 |
| \(y\) | 0.5 | 0.5 | 2.5 | 2.5 | 4.5 |
偏差平方和と偏差積和を使って、回帰直線の傾きを求める
ここでは、上の表で与えられたデータを表現する、以下のような回帰直線を求めることを考えます。
$$y = a + bx$$
まず、上の表で与えられたデータから、「偏差平方和」を求めます。
「偏差平方和」とは、"平均値と観測値の差" の平方和（2乗和）です。
説明変数 \(x\) の平均 \({\overline x}\)、目的変数 \(y\) の平均 \({\overline y}\) は、以下のように算出できます。
$${\overline x} = \frac{0.0+1.0+2.0+3.0+4.0}{5} = 2.0\\{\overline y} = \frac{0.5+0.5+2.5+2.5+4.5}{5} = 2.1$$
この情報を用いて、偏差平方和は以下のように計算されます。
$$A_x = \sum_{i = 1}^5 (x_i - {\overline x})^2 = 10.0\\A_y = \sum_{i = 1}^5 (y_i - {\overline y})^2 = 11.2$$
同じように、「偏差積和」を求めます。
「偏差積和」とは、"説明変数の平均値と観測値の差" と "目的変数の平均値と観測値の差" の積の和です。
したがって、偏差積和は以下のように計算されます。
$$A_{x,y} = \sum_{i = 1}^5 (x_i - {\overline x})(y_i - {\overline y}) = 10.0$$
回帰直線の傾き "\(b\)" は、説明変数 \(x\) の偏差平方和と、偏差積和を用いて、以下のように計算することができます。
$$b = \frac{A_{x, y}}{A_x} = \frac{10.0}{10.0} = 1$$
求めた傾きと平均値を使って、回帰直線の切片を求める
回帰直線の切片 "\(a\)" は、上で求めた傾き "\(b\)"、説明変数 \(x\) の平均値 \({\overline x}\)、目的変数 \(y\) の平均値 \({\overline y}\) を使って計算することができます。
$$a = {\overline y} - b{\overline x} = 2.1 - 1\times2.0 = 0.1$$
