目次（まとめ）
注目している確率変数の分布を求める 検出力を確保するために必要なサンプル数を求める 参考文献
こんにちは、みっちゃんです。
今回の記事では、2013年に行われた統計検定1級の統計応用の医薬生物学分野の問題（問3）を取り上げて、解答を得るための方針について解説します（問題の詳細については、参考文献などをご覧ください）。
この問題では、さまざまな医院の患者に対する2つの処置の効果を検証する比較研究について取り扱っています。
注目している確率変数の分布を求める
第 j 医院における患者について平均値を考えると、患者数は n 人なので、以下のようになります。
\overline{Y}_{ij} = \frac{Y_{ij1} + Y_{ij2} + ... + Y_{ijn}}{n} = \frac{\sum_{k = 1}^n Y_{ijk}}{n}
ここで、
Y_{ijk} = \mu_i + c_j + \epsilon_{ijk}
であり、\mu_i が第 i 処置の効果、c_j が第 j 医院の効果、\epsilon_{ijk} が患者の個体間変動とされています。
また、c_j は、平均 0、分散 \sigma_c^2 の正規分布にしたがい、\epsilon_{ijk} は、平均 0、分散 \sigma_\epsilon^2 の正規分布にしたがうことがわかっています。
この問題では、第 j 医院における患者の平均値について、その分布（つまり、平均と分散）を考えています。
まず、平均を考えます。
第 j 医院には n 人の患者がいて、当然、全員同じ処置 i を受けることになります。例えば、第1処置の第2医院の患者 n 人について、その平均値の平均を考えるイメージです。
この場合、1人目は \mu_i + c_j + \epsilon_{ij1}、2人目は \mu_i + c_j + \epsilon_{ij2}、という風に n 人を考えることになりますが、\epsilon_{ijk} の平均が 0 であることから、結局、今考えている平均は \mu_i + c_j になります。
同様に、分散を考えると、結局、患者間のばらつきを考えることになり、\epsilon_{ijk} の分散が \sigma_\epsilon^2 であり、n 人を考えるので、以下のようになります。
V[\overline{Y}_{ij}] = \frac{\sigma_\epsilon^2}{n}
さらに、この問題では、第 i 処置群の患者の平均値について、その分布（つまり、平均と分散）を考えています。
第 i 処置群の患者は、J 個の医院に n 人ずついるので、全体で nJ 人います。
まず、平均を考えると、第1医院の1人目は \mu_i + c_1 + \epsilon_{i11}、2人目は \mu_i + c_1 + \epsilon_{i12}、・・・、第2医院の1人目は \mu_i + c_2 + \epsilon_{i21}、2人目は \mu_i + c_2 + \epsilon_{i22} という風になりますが、c_j の平均が 0、\epsilon_{ijk} の平均が 0 であることから、結局、今考えている平均は \mu_i になります。
分散は、nJ 人の患者間のばらつきと、J 個の医院間のばらつきを考えることになり、以下のようになります。
V[\overline{\overline{Y}}_{i}] = \frac{\sigma_c^2}{J} + \frac{\sigma_\epsilon^2}{nJ}
検出力を確保するために必要なサンプル数を求める
確率変数 X の平均値 \overline{X}が、平均 \mu_X、分散 \frac{\sigma^2}{N} の正規分布にしたがい、確率変数 Y の平均値 \overline{Y}が、平均 \mu_Y、分散 \frac{\sigma^2}{N} の正規分布にしたがうとします。
ここで、有意水準が 100\alpha %の両側検定を考えるとき、検出力が 100(1 - \beta) %になるように必要なサンプル数 N は以下のように得られます。
N = \frac{2\sigma^2 {z(\frac{\alpha}{2}) + z(\beta)}^2}{(\mu_X - \mu_Y)^2}
z(\alpha) は、標準正規分布の上側 100\alpha %点です。
例えば、有意水準が5%（\alpha = 0.05）の両側検定を考えるとき、検出力が80%（\beta = 0.2）になるように必要なサンプル数 N は以下のように得られます。
N = \frac{2\sigma^2 {z(0.025) + z(0.2)}^2}{(\mu_X - \mu_Y)^2}
z(0.025) は、標準正規分布の上側2.5%点なので、上側確率が0.025になる "1.96"、z(0.2) は、標準正規分布の上側20%点なので、上側確率が0.2になる "0.84" を代入すると、必要なサンプル数を取得することができます（標準正規分布表の見方は、こちらの記事をご参照ください）。
